Un vértice de un grafo, ve-domina cada borde incidente, así como cada borde adyacente a estos bordes incidentes. Un conjunto es un conjunto de doble dominación de vértice-borde si cada borde de es ve-dominado por al menos dos vértices de . El número de doble dominación de vértice-borde es la cardinalidad mínima de un conjunto de doble dominación de vértice-borde en . Un subconjunto es un conjunto de dominación total (respectivamente, un conjunto 2-dominante) si cada vértice en tiene un vecino en (respectivamente, cada vértice en tiene al menos dos vecinos en ). El número de dominación total es la cardinalidad mínima de un conjunto de dominación total de , y el número de 2-dominación es la cardinalidad mínima de un conjunto 2-dominante de Krishnakumari et al. (2017) mostraron que para cada grafo sin triángulos, y además, si no tiene vértices aislados, entonces Además, plantearon el problema de caracterizar aquellos grafos que alcanzan la igualdad en los límites anteriores. En este documento, caracterizamos todos los árboles con o .