En este documento, aplicamos el clásico lema FKKM para obtener la desigualdad minimax de Ky Fan definida en subconjuntos convexos no compactos en espacios de Banach reflexivos, y luego la aplicamos a la teoría de juegos y obtenemos el teorema de existencia de Nash para conjuntos de estrategias no compactos, lo cual puede considerarse como una nueva, simple pero interesante aplicación del lema FKKM y la desigualdad minimax de Ky Fan, y también podemos presentar otra demostración sobre el famoso teorema de existencia de John von Neumann en juegos de suma cero de dos jugadores. Debido a los resultados de Li, Shi y Chang, la coercitividad en la conclusión puede ser reemplazada por las condiciones P.S. o G.P.S.