Sea una Hopf-álgebra finita y un álgebra de dimensión finita. En este artículo, nos enfocamos en el producto cruzado que surge de la acción de en , que es un álgebra. En términos de la medida de Haar positiva fiel en una Hopf-álgebra finita, se puede construir un funcional lineal en el álgebra , que es además un funcional lineal positivo fiel. Aquí, la completa positividad de un funcional lineal positivo juega un papel vital en el argumento. Por último, concluimos que el producto cruzado es un álgebra de dimensión finita de acuerdo con una representación fiel.