Sea un grafo. El primer índice de Zagreb de un grafo se define como , donde es el grado del vértice en . Un grafo se llama Hamiltoniano (resp. trazable) si tiene un ciclo (resp. camino) que contiene todos los vértices de . Utilizando dos desigualdades establecidas, en este documento, presentamos condiciones suficientes que involucran el primer índice de Zagreb para grafos Hamiltonianos y grafos trazables. También presentamos límites superiores para el primer índice de Zagreb de un grafo y caracterizamos los grafos que alcanzan los límites superiores.