En este trabajo se define una función supercuadrática de operador (en el sentido de operador) para operadores de espacio de Hilbert positivos. Se señalan varios ejemplos con algunas propiedades importantes junto con algunas observaciones que están relacionadas con la convexidad del operador. Se deduce así una desigualdad general de Bohr para operadores positivos. Se demuestra una desigualdad de tipo Jensen. También se establecen afirmaciones equivalentes de una versión no conmutativa de la desigualdad de Jensen para función supercuadrática de operador. Finalmente, también se proporcionan varias desigualdades de traza para funciones supercuadráticas (en el sentido ordinario).