Se introduce el mapa de -puntos entre dos curvas planas de Legendre, que es un mapa del plano en el plano. La singularidad de este mapa se estudia a lo largo de este artículo y muchas singularidades de mapas planos conocidas se realizan como casos especiales de esta construcción. Precisamente, se investigan las singularidades de corango uno y corango dos del mapa de -puntos entre dos curvas planas de Legendre y se obtienen las condiciones geométricas para que este mapa tenga singularidades de corango uno, como pliegue, cúspide, cola de golondrina, labios y picos. Además, se obtienen las condiciones geométricas para que el mapa de -puntos tenga una singularidad de aleta de tiburón, que es una singularidad de corango dos.