En este documento, consideramos algoritmos rápidos y de alto orden para el cálculo de integrales altamente oscilatorias y casi singulares. Basándonos en operadores con respecto a los polinomios de Chebyshev, proponemos una clase de cuadratura de Levin espectral eficiente para integrales oscilatorias sobre dominios rectangulares, y damos un análisis detallado de convergencia. Además, con la ayuda de la refinación de malla adaptativa, podemos desarrollar un algoritmo eficiente para calcular integrales altamente oscilatorias y casi singulares. En contraste con los métodos existentes, las aproximaciones derivadas del nuevo enfoque no sufren de oscilaciones y singularidades altas. Finalmente, se incluyen varios experimentos numéricos para ilustrar el rendimiento de las reglas de cuadratura dadas.