Formulamos una ecuación parabólica cuasilineal que describe el comportamiento de la solución global en el tiempo de una ecuación parabólica semilineal. Estudiamos esta ecuación de acuerdo con los patrones de explosión y extinción de la solución de la ecuación parabólica semilineal original. Esta ecuación cuasilineal es nueva en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales y presenta varias dificultades para el análisis matemático. Se examinan dos enfoques: el análisis funcional y una solución de viscosidad.