En este documento, mostramos varias conexiones entre funciones especiales que surgen de distribuciones estadísticas de tipo Conway-Maxwell-Poisson (COM-Poisson) generalizadas y ecuaciones integro-diferenciales con coeficientes variables que involucran operadores de tipo Hadamard. Se obtienen nuevos resultados analíticos, mostrando el papel particular de las derivadas de tipo Hadamard en relación con una generalización recientemente introducida de la función Le Roy. También somos capaces de demostrar una conexión general entre ecuaciones de tipo hiper-Bessel fraccionarias que involucran operadores de Hadamard y funciones Le Roy.