En este trabajo, después de introducir una convergencia de una serie en los vectores raíz en el sentido de Abel-Lidskii, presentamos una aplicación valiosa a las ecuaciones de evolución. El tema principal del documento es un enfoque que nos permite ampliar principalmente las condiciones impuestas sobre el segundo término de la ecuación de evolución en el espacio de Hilbert abstracto. De esta manera, llegamos a la definición de la función de un operador no autoadjunto no acotado. Mientras tanto, al considerar el tema principal, involucramos un concepto adicional que es una generalización del teorema espectral para un operador no autoadjunto.