Este trabajo contribuye al campo de la topología supra-suave. Introducimos e investigamos los supra-suaves y los espacios supra-suaves. Estos se definen en términos de diferentes puntos ordinarios; se basan en relaciones de pertenencia parcial y no pertenencia parcial en el primer tipo, y relaciones de pertenencia parcial y no pertenencia total en el segundo tipo. Con la ayuda de ejemplos, revelamos las relaciones entre ellos, así como sus relaciones con clases de espacios topológicos supra-suaves como los supra-suaves y los espacios supra-suaves. Este trabajo también investiga las conexiones entre estos espacios y sus relaciones con los espacios topológicos supra que inducen. Algunas conexiones se muestran con la ayuda de ejemplos. En este sentido, demostramos que para , poseer la propiedad por un espacio supra-topológico paramétrico implica poseer la propiedad suave por su espacio topológico supra-suave. Esta relación no es válida para los otros tipos de espacios suaves introducidos en la literatura anterior. Derivamos algunos resultados de los espacios -suaves a partir de los números de cardinalidad del conjunto universal y un conjunto de parámetros. También demostramos cómo se comportan estos espacios en comparación con sus homólogos estudiados en la topología suave y sus generalizaciones (como las topologías infra-suaves y las topologías suaves débiles). Además, investigamos si los subespacios, los espacios de producto finito y las aplicaciones suaves continuas preservan estos axiomas.