Una coloración de dominación de un grafo es una coloración adecuada de vértices tal que cada vértice domina al menos una clase de color (posiblemente su propia clase), y cada clase de color es dominada por al menos un vértice. El número mínimo de colores entre todas las coloraciones de dominación se llama número cromático de dominación, denotado por . En este documento, estudiamos la complejidad del problema de coloración de dominación por medio de la demostración de su NP-completitud para grafos arbitrarios. Presentamos resultados y propiedades básicas de , incluyendo los límites y resultados de caracterización, y una investigación adicional de algunas clases especiales de grafos, como los grafos bipartidos, los grafos generalizados de Petersen, productos de corona y productos de corona de aristas. Se presentan varios resultados sobre grafos con . Además, se propone una aplicación de las coloraciones de dominación en redes sociales.