En este documento, presentamos la noción de función local difusa y espacio topológico ideal DF. Además, introducimos los conceptos de multifunciones DFU-ð-continuas y DFL-ð-continuas, casi ð-continuas, débilmente ð-continuas y casi débilmente ð-continuas. Se establecen varias propiedades y caracterizaciones de las multifunciones introducidas y los tipos de continuidad. Se dan algunos ejemplos para explicar las implicaciones correctas entre estas nociones.