El modelado de series temporales de valores discretos ha presenciado numerosos procesos autoregresivos de primer orden de valores enteros bivariados o procesos BINAR(1) basados en adelgazamiento binomial y diferentes distribuciones de innovación. Estos procesos BINAR(1) se centran principalmente en la sobredispersión. Este artículo tiene como objetivo proponer nuevas distribuciones y procesos bivariados basados en una distribución de sobredispersión recientemente propuesta: la distribución de Poisson 2S-Lindley. Las nuevas distribuciones bivariadas, denominadas con las abreviaturas BP2S-L(I) y BP2S-L(II), se utilizan luego como distribuciones de innovación para el proceso BINAR(1). Se investigan las propiedades de ambas distribuciones, así como de los procesos BINAR(1). Los parámetros de distribución se estiman utilizando el método de máxima verosimilitud, y los parámetros del proceso BINAR(1)BP2S-L(I) y BINAR(1)BP2S-L(II) se estiman utilizando los métodos de mínimos cuadrados condicionales y máxima verosimilitud condicional. Se realizan experimentos de simulación de Monte Carlo para estudiar el rendimiento en muestras grandes y pequeñas y para la comparación de los métodos de estimación. Luego, se utilizan las series de crímenes de Pittsburgh y los conjuntos de datos de ventas de dulces para comparar los nuevos procesos BINAR(1) con algunos otros procesos BINAR(1) existentes en la literatura.