Consideramos la minimización de un funcional del cálculo de variaciones, bajo supuestos que son invariantes por difeomorfismos. En particular, se necesita considerar una condición de coercitividad no uniforme. Mostramos que los métodos directos del cálculo de variaciones se pueden aplicar en un espacio de Sobolev generalizado, que a su vez es invariante por difeomorfismos. Bajo una suposición adecuada (invariante), los mínimos en este espacio más grande pertenecen a un espacio de Sobolev usual y están acotados.