Este trabajo presenta nuevos resultados relacionados con la generalización de Bombieri de la desigualdad de Bessel en un espacio de producto semi-interno inducido por un operador semidefinido positivo. Específicamente, establecemos nuevas desigualdades que generalizan la desigualdad clásica de Bessel y amplían resultados previos en esta área. Además, nuestros hallazgos tienen aplicaciones en el estudio de operadores en espacios de producto interno semidefinido positivo, también conocidos como espacios semi-Hilbert, y contribuyen a una comprensión más profunda de sus propiedades y aplicaciones. Nuestro trabajo tiene implicaciones para varios campos, incluyendo el análisis funcional y la teoría de operadores.