En este documento, analizamos la parte de Friedrichs de un operador con un símbolo limitado polinomialmente. Específicamente, derivamos una expresión precisa de su expansión asintótica. En el caso de símbolos que cumplen con estimaciones de Gevrey, también estimamos con precisión la regularidad de los términos en la expansión asintótica. Estos resultados permiten nuevas y refinadas aplicaciones de la aguda desigualdad de Gårding en el estudio del problema de Cauchy para ecuaciones de evolución.