Los fenómenos de amortiguamiento viscoelástico son ubicuos en diversos tipos de movimientos ondulatorios de medios no lineales. Esto suscita un interés extenso en estudiar la existencia, el fenómeno de explosión en tiempo finito y varios comportamientos a largo plazo de las soluciones a ecuaciones de onda viscoelásticas. En este documento, nos ocupamos de una clase de ecuaciones de onda cuasi-lineales acopladas de coeficiente variable amortiguadas por viscoelasticidad con una memoria a largo plazo que se desvanece a tasas muy generales y posiblemente amortiguadas por fricción pero provocadas por interacciones no lineales. Demostramos un resultado de existencia local para soluciones a nuestras ecuaciones de modelo acopladas al aplicar el esquema Faedo-Galerkin celebrado. Basándonos en el resultado de existencia local recién obtenido, demostramos que las soluciones existirían globalmente en el tiempo siempre que sus datos iniciales satisfagan ciertas condiciones. Al final, proporcionamos un criterio para garantizar que algunas de las soluciones existentes en tiempo global logren decaimiento de energía a tasas generales determinadas de manera única por las tasas de desvanecimiento de la memoria. En comparación con los resultados existentes en la literatura, nuestras ecuaciones de onda acopladas de modelo de interés son más generales, y por lo tanto nuestros resultados teóricos tienen una aplicabilidad más amplia. Las funcionales de energía modificadas (también pueden ser vistas como ciertas funcionales de Lyapunov) desempeñan un papel clave en la demostración de nuestro resultado general de decaimiento de energía afirmado en este documento.