El objetivo de este trabajo es definir una clase de curvas planas con parametrización de longitud de arco. Para lograr esto, construimos una nueva clase de polinomios especiales y funciones especiales. Estas funciones forman una base de espacio y algunas de sus propiedades interesantes son discutidas. Las curvas desarrolladas se utilizan para el análisis estático lineal de vigas curvas de Bernoulli-Euler. Debido a la parametrización con longitud de arco, se puede obtener la solución analítica exacta. Estas soluciones en forma cerrada sirven como resultados de referencia para el desarrollo de procedimientos numéricos. Se proporciona un ejemplo de este tipo en este trabajo.