Las curvas espectrales son curvas algebraicas asociadas a subálgebras conmutativas de anillos de operadores diferenciales ordinarios (ODOs). Su origen está vinculado a la ecuación de Korteweg-de Vries y a trabajos seminales sobre ODOs conmutativos de I. Schur y Burchnall y Chaundy. Permiten la solución del problema espectral, para un parámetro algebraico y un ODO algebrogeométrico, cuyo centralizador se sabe que es el anillo afín de una curva espectral abstracta. En este trabajo, usamos resultantes diferenciales para calcular de manera efectiva el ideal definitorio de la curva espectral, definido por el centralizador de un operador diferencial de tercer orden, con coeficientes en un campo diferencial arbitrario de característica cero. Con este propósito, los ideales definitorios de curvas espectrales planas asociadas a pares conmutativos se describen como radicales de ideales de eliminación diferencial. En general, es una curva espacial no plana y proporcionamos el primer ejemplo explícito. Como consecuencia, el cálculo de un factor derecho de primer orden de se vuelve explícito sobre un nuevo campo de coeficientes que contiene. Nuestros resultados establecen un nuevo marco apropiado para desarrollar una teoría de Picard-Vessiot para problemas espectrales.