Este trabajo rompe un marco de 180 años creado por Hamilton tanto en lo que respecta al uso de cantidades imaginarias como en la definición de un producto de cuaterniones. La estructura algebraica cuaterniónica general que estamos considerando fue proporcionada por el autor en un trabajo anterior con un producto conmutativo y se presentará aquí con un producto no conmutativo. Reemplazamos las unidades imaginarias que se utilizan habitualmente en la teoría de cuaterniones por vectores linealmente independientes y la regla de producto de Hamilton habitual por un producto vectorial adaptado a Hamilton y demostramos tanto una nueva propiedad geométrica de este producto como una fórmula tipo Euler adoptada para vectores.