Las resoluciones mínimas gratuitas de un módulo finitamente generado sobre un anillo de polinomios, con variables y un campo, han sido estudiadas extensamente. Casi todos los resultados en la literatura sobre resoluciones mínimas gratuitas dan sus números de Betti, es decir, los rangos de los módulos gratuitos en la resolución en cada grado. Se han desarrollado varias técnicas para calcular los números de Betti, lo que convierte este en un problema manejable en muchos casos. Sin embargo, rara vez se da una descripción de las diferenciales en la resolución, ya que esto resulta ser un problema más difícil. El propósito principal de este artículo es dar un criterio para verificar cuándo un complejo gratuito graduado de un módulo es exacto. A diferencia de criterios similares anteriores, este nos permite dar una descripción de las diferenciales utilizando la combinatoria del módulo. El criterio se da en términos de los números de Betti de las resoluciones en cada grado y el conjunto de columnas de la representación matricial de las diferenciales. En la última sección, y con el objetivo de ilustrar cómo usar el criterio, lo aplicamos a uno de los primeros casos mejor comprendidos, el ideal de arista del grafo completo. Sin embargo, este criterio se puede utilizar para dar una descripción explícita de las diferenciales de una resolución de varios ideales monomiales como la duplicación de un ideal, el ideal de arista de un cografo, etc.