El grupo de simetría de una ecuación de Painlevé (discreta) proporciona información crucial sobre las propiedades de la ecuación. En este artículo, argumentamos en contra de la creencia comúnmente aceptada de que el grupo de simetría de una ecuación dada está determinado únicamente por su tipo de superficie según la famosa clasificación de Sakai. Desmentiremos esta idea errónea utilizando un ejemplo específico de una ecuación d-P, que corresponde a una media traslación en la red de raíces dual a su red de raíces de tipo de superficie pero se convierte en una verdadera traslación en una subred de la misma que corresponde a su grupo de simetría real. Este último hecho se muestra de dos maneras diferentes, primero mediante un cálculo a la fuerza bruta, y luego a través del uso de la teoría del normalizador, que creemos que es una herramienta extremadamente útil para este propósito. Concluimos el artículo con el análisis de un subcaso de nuestro ejemplo principal, que surge en el estudio de las probabilidades de brecha para los conjuntos unitarios de Freud, y cuyo grupo de simetría está aún más restringido debido a la aparición de una curva nodal en la superficie en la que se regulariza la ecuación.