Consideramos un problema de Cauchy para ecuaciones diferenciales en un espacio de Hilbert. El problema se plantea en un intervalo de tiempo, que puede ser finito o infinito. Utilizamos un argumento de punto fijo para operadores dependientes del historial para demostrar la unicidad de la solución del problema. Luego, establecemos criterios de convergencia tanto para un problema general de punto fijo como para el problema de Cauchy correspondiente. Estos criterios proporcionan las condiciones necesarias y suficientes sobre una secuencia, que garantizan su convergencia a la solución del problema correspondiente, en el espacio de funciones continuas y continuamente diferenciables. Luego especificamos nuestros resultados en el estudio de una ecuación diferencial particular gobernada por dos operadores no lineales. Finalmente, proporcionamos una aplicación en viscoelasticidad y damos una interpretación mecánica del resultado de convergencia correspondiente.