Un problema de interés en el análisis de las ecuaciones de Navier-Stokes se refiere al comportamiento de las soluciones para ciertas condiciones en el término de forzamiento o fuerza externa. En este trabajo, consideramos una fuerza externa de crecimiento exponencial máximo, e investigamos la existencia local y unicidad de soluciones para las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles dentro del espacio de Sobolev-Gevrey. Los espacios de Sobolev-Gevrey son muy adecuados para nuestros propósitos, ya que proporcionan alta regularidad y control sobre el crecimiento de derivadas, lo cual es particularmente relevante para nosotros, dada la máxima tasa de crecimiento exponencial en el término de forzamiento. Además, los límites estructurados en los espacios de Gevrey ayudan a monitorear posibles explosiones de soluciones manteniendo la regularidad, aunque no previenen ni resuelven completamente escenarios de explosión global. Utilizando el teorema del punto fijo de Banach, demostramos que el operador no lineal asociado con las ecuaciones de Navier-Stokes es localmente Lipschitz continuo. A través de estimaciones de energía y la aplicación de la desigualdad de Grönwall, establecemos que las soluciones existen, son únicas y también exhiben un crecimiento exponencial en sus normas de Sobolev-Gevrey con el tiempo bajo ciertas suposiciones en el término de forzamiento. Este análisis tiene como objetivo contribuir a la comprensión del comportamiento de los flujos de fluidos con términos de forzamiento en espacios de funciones de alta regularidad.