Para un sistema dinámico discreto, la órbita principal y las funciones de conteo de órbitas de Mertens describen el crecimiento de sus órbitas cerradas de cierta manera. Los comportamientos asintóticos de estas funciones de conteo pueden determinarse a través de la función zeta de Artin-Mazur del sistema. Específicamente, la existencia de una extensión meromorfa no nula de la función zeta conduce a ciertos resultados asintóticos. En este artículo, demostramos los comportamientos asintóticos de las funciones de conteo para un cierto tipo de espacios de desplazamiento inducidos por grafos de ramillete dirigidos y desplazamientos de Dyck. Llamamos a estos espacios de desplazamiento como los desplazamientos de ramillete-Dyck. Dado que su respectiva función zeta implica raíces cuadradas de polinomios, la extensión meromorfa es difícil de obtener. Para superar este obstáculo, empleamos algunas teorías sobre ceros de polinomios, incluido el conocido Teorema de Eneström-Kakeya en análisis complejo. Finalmente, la extensión meromorfa implicará los resultados asintóticos deseados.