El objetivo de este documento es construir funciones generadoras para nuevas familias de números y polinomios combinatorios. Al utilizar estas funciones generadoras con sus ecuaciones funcionales y diferenciales, no solo investigamos propiedades de estas nuevas familias, sino que también derivamos muchas identidades nuevas, relaciones, fórmulas de derivadas y sumas combinatorias con la inclusión de coeficientes binomiales, factorial descendente, los números de Stirling, los polinomios de Bell (es decir, polinomios exponenciales), los polinomios de Poisson-Charlier, números y polinomios combinatorios, las funciones de base de Bernstein y las funciones de distribución de probabilidad. Además, mediante la aplicación de integrales -ádicas e integrales de Riemann, obtenemos algunas sumas combinatorias que incluyen los coeficientes binomiales, el factorial descendente, los números de Bernoulli, los números de Euler, los números de Stirling, los polinomios de Bell (es decir, polinomios exponenciales) y los números de Cauchy (o los números de Bernoulli de segundo tipo). Finalmente, ofrecemos algunos comentarios y observaciones sobre nuestros resultados relacionados con algunas distribuciones de probabilidad como la distribución binomial y la distribución de Poisson.