El presente artículo de revisión proporciona resultados recientes sobre la convexidad y sus aplicaciones a la extensión restringida de operadores lineales, motivados por la existencia de subgradientes de operadores convexos continuos, el problema de momentos de Markov y operadores de Markov relacionados, aproximación usando el teorema de Krein-Milman, optimización relacionada y aproximación polinómica en subconjuntos no acotados. En muchos casos, el teorema de Mazur-Orlicz también conduce a operadores de Markov como soluciones. El punto común de todos estos resultados es el teorema de Hahn-Banach y sus consecuencias, suministradas por resultados específicos en aproximación polinómica. Todos estos teoremas o sus demostraciones implican esencialmente la noción de convexidad.