Estudiamos la convergencia local de un método de tipo Newton de octavo orden para aproximar una solución localmente única de una ecuación no lineal. Los estudios anteriores, como Chen et al. (2015), muestran convergencia bajo hipótesis sobre la séptima derivada o incluso superior, aunque solo la primera derivada y la diferencia dividida aparecen en estos métodos. La convergencia en este estudio se muestra bajo hipótesis solo sobre la primera derivada. Por lo tanto, se amplía la aplicabilidad del método. Finalmente, también se proporcionan ejemplos numéricos para mostrar que nuestros resultados se aplican para resolver ecuaciones en casos donde los estudios anteriores no pueden aplicarse.