Discutimos la convergencia local de un método de octavo orden sin derivadas en un entorno de espacio de Banach. El presente estudio proporciona el radio de convergencia y límites en los errores bajo la hipótesis basada únicamente en la primera derivada de Fréchet. Los enfoques que utilizan expansiones de Taylor, que contienen derivadas de orden superior, no proporcionan tales estimaciones ya que las derivadas pueden no existir o ser costosas de calcular. Al usar solo la primera derivada, el método se puede aplicar a una amplia clase de funciones y, por lo tanto, se expanden sus aplicaciones. Los experimentos numéricos muestran que los resultados actuales son aplicables a casos en los que los resultados anteriores no pueden aplicarse.