Consideramos una clase de ecuaciones lineales no homogéneas en un espacio de Banach no resolubles con respecto a la derivada fraccional de Caputo. Dichas ecuaciones se denominan degeneradas. Estudiamos el caso de la existencia de una familia de operadores resolventes para la ecuación homogénea respectiva, que es analítica en un sector. Se demuestra la existencia de una solución única del problema de Cauchy y del problema de Showalter-Sidorov para la ecuación degenerada no homogénea. También derivamos la forma de la solución. Se investiga la controlabilidad aproximada de sistemas de control de dimensionalidad infinita, descritos por las ecuaciones de la clase considerada. Se obtiene un criterio de controlabilidad aproximada para el sistema de control de orden fraccional degenerado. El criterio se ilustra con la aplicación a un sistema, que se describe mediante un problema de valor inicial-límite para una ecuación diferencial parcial, no resoluble con respecto a la derivada fraccional del tiempo. Como corolario de los resultados generales, se obtiene un criterio de controlabilidad aproximada para el sistema de control de orden fraccional degenerado con una entrada de dimensionalidad finita.