El problema de sincronización de Mittag-Leffler (MLS) para redes neuronales bidireccionales asociativas de cuaterniones con retraso de Caputo (BAM-NNs) se estudia en este artículo. Primero, se demuestra un nuevo lema mediante la transformada de Laplace y la transformada inversa. Luego, sin descomponer un sistema de cuaterniones en subsistemas, se diseñan un controlador adaptativo y un controlador lineal para lograr MLS. De acuerdo con el lema propuesto, construyendo dos funcionales de Lyapunov diferentes y aplicando el teorema fraccional de Razumikhin y técnicas de desigualdad, se derivan los criterios suficientes de MLS en redes neuronales BAM-NNs fraccionarias con retraso. Finalmente, se presentan dos ejemplos numéricos para ilustrar la validez y practicidad.