Sea una variedad riemanniana compacta de dimensión sin frontera. Dado un conjunto compacto , estudiamos el conjunto de distancias desde el conjunto hasta un punto fijo . Este conjunto es , donde es la métrica riemanniana en . Demostramos que si la dimensión de Hausdorff de es mayor que , entonces existen muchos tales que la medida de Lebesgue de es positiva. Este resultado fue previamente establecido por Peres y Schlag en el entorno euclidiano. Damos una demostración simple del resultado de Peres-Schlag y lo generalizamos a una amplia gama de funciones de tipo distancia. Además, extendemos nuestro resultado al entorno de cadenas estudiado en nuestro trabajo anterior y obtenemos una estimación fijada en este contexto.