Estudiamos la métrica cuarto-simétrica -conexión en una variedad cosimplectica. Observando tensores de curvatura linealmente independientes con respecto a la métrica cuarto-simétrica -conexión, construimos el tensor de curvatura proyectiva de Weyl en una variedad cosimplectica. De esta manera, obtenemos nuevas condiciones para que la variedad sea proyectivamente plana. Al final del artículo, definimos las variedades cosimplecticas -Einstein del tipo -ésimo y demostramos que coinciden con la variedad cosimplectica -Einstein.