Aquí estudiamos la extensión de las funciones -trigonométricas y su familia en dominios complejos y las funciones -hiperbólicas y su familia en dominios complejos hiperbólicos. Estas funciones satisfacen relaciones análogas a sus contrapartes clásicas con algunas propiedades desconocidas. Mostramos la relación de estas dos clases de funciones especiales, es decir, las funciones -trigonométricas y -hiperbólicas, con argumentos imaginarios. También mostramos muchas propiedades e identidades relacionadas con la analogía entre estos dos grupos de funciones. Además, extendemos la investigación conectando los conceptos de números complejos hiperbólicos y elípticos para mostrar las propiedades de las funciones logarítmicas con argumentos complejos.