La pregunta sigue abierta sobre si existen infinitos números primos de Fermat o infinitos números compuestos de Fermat. La misma pregunta sobre los números de Mersenne también está sin respuesta. Ampliando algunos resultados recientes de Megrelishvili y el autor, caracterizamos los números primos de Fermat y los números primos de Mersenne en términos de la minimalidad topológica de algunos grupos de matrices. Esto se logra mostrando, entre otras cosas, que si es un subcampo de un campo local de característica , entonces el grupo triangular superior especial es minimal precisamente cuando el grupo lineal especial lo es. Proporcionamos criterios para la minimalidad (y la minimalidad total) de y donde es un subcampo de . Sean y el conjunto de números primos de Fermat y el conjunto de números compuestos de Fermat, respectivamente. Como nuestro resultado principal, demostramos que las siguientes condiciones son equivalentes para : es finito; es minimal, donde es el campo racional gaussiano; y es minimal. De manera similar, denotemos por y el conjunto de números primos de Mersenne y el conjunto de números compuestos de Mersenne, respectivamente, y sea Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: es finito; es minimal; y es minimal.