Se presenta una nueva forma de calcular el polinomio de Taylor de una matriz exponencial que reduce el número de multiplicaciones de matrices en comparación con el método de evaluación de polinomios de Paterson-Stockmeyer, que es el estándar de facto. Combinado con el procedimiento de escalamiento y elevación al cuadrado, esta reducción es suficiente para hacer que el método de Taylor sea superior en rendimiento a las aproximaciones de Padé en un rango de valores de las normas de las matrices. También se introduce un ajuste eficiente para hacer que el método sea robusto contra el sobreescalamiento. Experimentos numéricos muestran el rendimiento superior de nuestro método al tener una precisión similar en comparación con implementaciones de vanguardia, y por lo tanto, se recomienda especialmente su uso en conjunto con grupos de Lie e integradores exponenciales donde la preservación de propiedades geométricas es un problema.