En este trabajo, estudiamos principalmente las ecuaciones de picón débilmente disipativas con no linealidad de orden superior. Bajo el efecto de la disipación, primero derivamos la velocidad de propagación infinita si el dato inicial tiene un soporte compacto no negativo. Además, obtenemos el comportamiento a largo plazo del soporte de la densidad de momento con los datos iniciales de soporte compacto. Los resultados correspondientes se obtienen utilizando algunas estimaciones previas y el método de energía. Cabe destacar que debemos superar las dificultades causadas por la estructura no lineal de alto orden y el efecto disipativo de la ecuación. Los resultados obtenidos generalizan los resultados anteriores en cierto grado.