En el documento, consideramos un nuevo enfoque para la comparación de las distribuciones de sumas de variables aleatorias. A diferencia de trabajos anteriores, para este propósito utilizamos la noción de deficiencia que es bien conocida en estadística matemática. Este enfoque se utiliza, primero, para determinar la distribución de una variable aleatoria separada en la suma que proporciona el menor número posible de sumandos garantizando el valor prescrito del -cuantil de la suma normalizada para un dado , y segundo, para determinar la distribución de una variable aleatoria separada en la suma que proporciona el menor número posible de sumandos garantizando el valor prescrito de la probabilidad para que la suma normalizada caiga en un intervalo dado. Ambos problemas se resuelven bajo la condición de que las posibles distribuciones de sumandos aleatorios posean tres primeros momentos coincidentes. En ambos escenarios, la mejor distribución proporciona el menor número de sumandos. Junto con las distribuciones de un número no aleatorio de sumandos, consideramos el caso de la suma aleatoria e introducimos un análogo de deficiencia que puede ser utilizado para comparar las distribuciones de sumas con un número aleatorio y no aleatorio de sumandos. Las principales herramientas matemáticas utilizadas en el documento son expansiones asintóticas para las distribuciones de funciones valoradas en -valores de vectores aleatorios, en particular, sumas normalizadas de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas y sus cuantiles. Junto con el caso general, se presta especial atención a la situación en la que las variables aleatorias resumidas son independientes e idénticamente distribuidas. El enfoque bajo consideración se aplica a la determinación de la distribución de los pagos de seguros que proporcionan el menor tamaño de cartera de seguros bajo un Valor en Riesgo prescrito o una probabilidad de no ruina.