Hay una gran cantidad de resultados de convergencia semi-local para el método de Newton (NM). Estos resultados se basan en el criterio de Newton-Kantorovich. Sin embargo, esta condición puede no cumplirse incluso en el caso de ecuaciones escalares. Por esta razón, primero presentamos un estudio comparativo de resultados clásicos y modernos establecidos. Además, utilizando funciones recurrentes y al menos constantes o funciones majorantes tan pequeñas, se puede proporcionar un análisis de convergencia más fino para NM. Las nuevas constantes y funciones son especializaciones de las anteriores; por lo tanto, no se requieren nuevas condiciones para mostrar la convergencia de NM. La técnica también es útil en otros métodos iterativos. Los ejemplos numéricos complementan los resultados teóricos.