Tres métodos de convergencia de sexto orden se abordan para aproximar la solución de una ecuación definida en el espacio euclidiano de dimensión finita. Esta convergencia requiere la existencia de derivadas de, al menos, orden siete. Sin embargo, solo se involucran derivadas de orden uno en tales métodos. Además, no tenemos estimaciones sobre las distancias de error, conclusiones sobre la unicidad de la solución en ningún dominio, y el dominio de convergencia no es lo suficientemente grande. Por lo tanto, estos métodos tienen un uso limitado. Este documento introduce una nueva técnica en un entorno general de espacio de Banach basado solo en la primera derivada y condiciones de tipo Lipschitz que permiten el estudio de la convergencia. Además, encontramos distancias de error utilizables, así como la unicidad de la solución. También se proporciona una comparación entre las bolas de convergencia de los tres métodos, lo cual no era posible con los enfoques anteriores. La técnica es posible de usar con métodos disponibles en la literatura mejorando, en consecuencia, su aplicabilidad. Varios ejemplos numéricos comparan estos métodos e ilustran los criterios de convergencia.