En la teoría de las funciones analíticas y univalentes, los coeficientes de la representación en series de Taylor de las funciones y sus desigualdades funcionales relacionadas son de gran interés y cómo estiman el crecimiento de las funciones en sus dominios especificados. Una de las desigualdades funcionales importantes y útiles es la desigualdad de Fekete-Szegö. En este trabajo, nuestro objetivo es analizar la desigualdad funcional de Fekete-Szegö y encontrar su cota superior para ciertas funciones analíticas que dan como resultado regiones de imagen de tipo parabólico y pétalo. Las desigualdades de coeficientes y la desigualdad de Fekete-Szegö de funciones inversas a estas ciertas funciones analíticas también se establecen en este trabajo.