En este trabajo, nuestro enfoque es estudiar la función de Fekete-Szegö de una manera diferente e innovadora, y para hacer esto encontramos su cota superior para ciertas funciones analíticas que dan como dominio de imagen regiones hiperbólicas. Las cotas superiores obtenidas en este documento proporcionan un refinamiento de resultados ya conocidos. Además, ampliamos nuestro trabajo calculando problemas similares para las funciones inversas de estas ciertas funciones analíticas para completitud.