Estudiamos códigos cíclicos sobre el anillo de orden 4 y característica 2 definidos por generadores y relaciones. Esta es la primera vez que se estudian códigos cíclicos sobre un anillo no unitario. Cada código cíclico de longitud sobre está determinado de forma única por los datos de un par ordenado de códigos cíclicos binarios de longitud. Caracterizamos códigos cíclicos auto-duales, cuasi-auto-duales y duales complementarios lineales. Clasificamos códigos cíclicos de longitud como máximo 7 hasta la equivalencia. Se estudia un mapa de Gray entre códigos cíclicos de longitud sobre y códigos cuasi-cíclicos de longitud sobre.