Sea un monoide abeliano. Se proporciona una condición necesaria y suficiente para que la clase de todos los anillos de Armendariz en relación con coincida con la clase de todos los anillos de Armendariz. Como consecuencia, demostramos que tiene exactamente tres casos: el conjunto vacío, , y la clase de todos los anillos. Si es un monoide abeliano, entonces demostramos que , lo cual da una respuesta afirmativa parcial a la pregunta abierta de Liu en 2005 (si es -Armendariz si es -Armendariz y -Armendariz). También mostramos que otros anillos similares a Armendariz en relación con un monoide abeliano, como los anillos -cuasi-Armendariz, los anillos -Armendariz sesgados, los anillos débiles -Armendariz, los anillos --Armendariz, los anillos nil -Armendariz, los anillos nil superiores -Armendariz y los anillos nil inferiores -Armendariz pueden ser tratados de manera similar. Por lo tanto, algunas conclusiones sobre estas clases han sido generalizadas utilizando estas clasificaciones.