En este documento, discutimos varias estimaciones para el lado derecho (resp. izquierdo) de la desigualdad de Hermite-Hadamard para funciones cuyos valores absolutos de las segundas (resp. primeras) derivadas a potencias reales positivas son log-convexas. Como aplicación, derivamos ciertas desigualdades que involucran las funciones -digamma y -polygamma, respectivamente. Como consecuencia, se derivan nuevas desigualdades para el -análogo de los números armónicos en términos de las funciones -polygamma. Además, también se consideran varias desigualdades para medias especiales.