Un grafo firmado es un par ordenado , donde es un grafo y es un mapeo. Para , se llama el signo de y para cualquier subgrafo de , se llama el signo de . Un grafo firmado que tiene un signo de cada ciclo se llama equilibrado. Dos vértices en un grafo se llaman antipodales si . El grafo antipodal de un grafo es el grafo con un conjunto de vértices que es el mismo que el de , y dos vértices en son adyacentes si son antipodales. Por el grafo -antipodal de un grafo , nos referimos a la unión de y . Dado un grafo firmado , el grafo firmado se llama el grafo firmado -antipodal de , donde se define de la siguiente manera: , donde es la colección de todos los caminos diamétricos en que conectan los vértices finales de un borde antipodal en . En este artículo, se estudian la propiedad de equilibrio y la consistencia canónica de los grafos firmados -antipodales de los grafos firmados de Smith (grafos conectados que tienen un valor propio más alto de 2).