Consideramos una caminata aleatoria ramificada en tiempo continuo en un entorno no homogéneo aleatorio. El proceso comienza con una sola partícula en el tiempo inicial. Esta partícula puede caminar en los puntos de la red o desaparecer con una intensidad aleatoria hasta que alcanza un punto específico, al que llamamos fuente de reproducción. En la fuente, la partícula puede dividirse en dos descendientes o saltar fuera de la fuente. Los descendientes de la partícula inicial evolucionan de acuerdo con la misma ley, de forma independiente entre sí y de toda la prehistoria. El objetivo de este trabajo es estudiar las condiciones para la presencia de un crecimiento exponencial del número promedio de partículas en cada punto de la red. Para este propósito, investigamos el espectro del operador de evolución aleatoria de los números promedio de partículas. Derivamos la condición bajo la cual hay un crecimiento exponencial con probabilidad uno. También estudiamos el proceso bajo la violación de esta condición y presentamos las estimaciones inferiores y superiores para la probabilidad de crecimiento exponencial.