Demostramos varios resultados en cálculo diferencial de dimensiones infinitas que relacionan las propiedades de diferenciabilidad de funciones y funciones valuadas por operadores asociados (por ejemplo, diferenciales). Los resultados se aplican en dos áreas: (1) en la teoría de haces vectoriales de dimensiones infinitas, para construir nuevos haces a partir de los dados, como haces duales, productos tensoriales topológicos, sumas directas infinitas y completaciones (bajo hipótesis adecuadas); (2) en la teoría de espacios vectoriales de Poisson localmente convexos, para demostrar la continuidad del corchete de Poisson y la continuidad del paso de una función al campo vectorial de Hamilton asociado. Las propiedades topológicas de los espacios vectoriales topológicos son esenciales para los estudios, lo que permite explotar la hipocoherencia de los mapeos bilineales. Especialmente, nos encontramos con espacios - y espacios localmente convexos tales que es un espacio -.