Los buscadores óptimos de raíces múltiples de cuarto orden con parámetro fueron conjugados a través del mapa de Möbius aplicado a una función polinómica simple. Se analizó la dinámica a largo plazo de estos mapas conjugados en el plano de parámetros para descubrir algunas propiedades de órbitas periódicas, acotadas y caóticas. Los parámetros para órbitas periódicas en el plano de parámetros están pintados de diferentes colores según sus periodos, y los acotados o caóticos están coloreados de negro para ilustrar componentes conectadas dependientes de los parámetros. Cuando un componente fijo rojo en el plano de parámetros se ramifica en un componente -periódico, nos encontramos con fenómenos de bifurcación geométrica cuyas características determinan la ecuación de límite deseada y el punto de bifurcación. Los resultados computacionales junto con componentes ilustradas respaldan los fenómenos de bifurcación subyacentes en este documento.